2단계 · 소문항 (2) 표본공간 $S$, 사건 $Q$의 원소의 개수와 확률 $\mathrm{P}(Q)$ (10점) 서로 다른 주사위 $2$개를 동시에 던질 때 나오는 눈의 수의 순서쌍 전체의 집합인 표본공간은 $$S = \{(i, j) \mid i, j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}, \qquad \mathbf{n(S) = 36}$$ 이다. 두 눈의 수의 합 $k = i + j$ ($2 \le k \le 12$)가 $3$의 배수인 사건을 각각 $Q_3\;(i+j=3)$, $Q_6\;(i+j=6)$, $Q_9\;(i+j=9)$, $Q_{12}\;(i+j=12)$라 하면, $$Q_3 = \{(1,2),(2,1)\}\;(2\text{개}), \quad Q_6 = \{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\}\;(5\text{개})$$ $$Q_9 = \{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)\}\;(4\text{개}), \quad Q_{12} = \{(6,6)\}\;(1\text{개})$$ 이다. 네 사건은 서로 배반사건이므로 $\mathbf{n(Q) = 2 + 5 + 4 + 1 = 12}$이고, 제시문 【나】와 【다】에 의하여 $$\mathrm{P}(Q) = \frac{n(Q)}{n(S)} = \frac{12}{36} = \mathbf{\frac{1}{3}}$$

3단계 · 소문항 (3) 4회 독립시행에서 2회 이상 맞닿을 확률 (10점) 1회 시행에서 사건 $Q$가 일어날 확률이 $p = \dfrac{1}{3}$이므로, 독립적으로 $4$회 반복할 때 사건 $Q$가 일어나는 횟수를 $X$라 하면 $X \sim \mathrm{B}\!\left(4, \dfrac{1}{3}\right)$이다. 여사건($X = 0$ 또는 $X = 1$)을 이용하면 구하는 확률은 다음과 같다. $$\mathrm{P}(X \ge 2) = 1 - \{ \mathrm{P}(X = 0) + \mathrm{P}(X = 1) \} = 1 - \left\lbrace {}_4\mathrm{C}_0\left(\frac{2}{3}\right)^4 + {}_4\mathrm{C}_1\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^3 \right\rbrace = 1 - \frac{16 + 32}{81} = \frac{33}{81} = \mathbf{\frac{11}{27}}$$

1단계 · 소문항 (1) $f'(0), f''(0)$ 계산 및 기함수 $f(-x) = -f(x)$ 증명 (10점) 주어진 함수방정식 $f(x + y) - f(x - y) = 2f(y)f'(x)$에 $x = 0$을 대입하면 $f(y) - f(-y) = 2f(y)f'(0)$이고, 여기에 $y = 2$를 대입하면 $f(2) = a > 0$이므로 $$a - f(-2) = 2a f'(0)$$ 이다. 한편 주어진 식에 $x = 0, \; y = h$를 대입하거나 $y$에 $-y$를 대입하면 $f(x - y) - f(x + y) = 2f(-y)f'(x)$이므로 두 식을 더하면 $2\{f(y) + f(-y)\}f'(x) = 0$이다. 상수함수가 아니므로($f(0)=0, f(2)=a>0$) $f'(x_0) \neq 0$인 $x_0$가 존재하며, 양변을 $2f'(x_0)$으로 나누면 모든 실수 $y$에 대하여 $$\mathbf{f(-y) = -f(y) \quad (\text{즉, } f(-x) = -f(x))}$$ 가 성립한다. 이를 $f(y) - f(-y) = 2f(y)f'(0)$에 대입하면 $2f(y) = 2f(y)f'(0)$이고 $y = 2$에서 $2a = 2a f'(0) \implies \mathbf{f'(0) = 1}$이다.
또한 제시문 【가】에 의하여 $f'(x) = \lim_{y\to 0}\dfrac{f(x+y) - f(x-y)}{2y} = \lim_{y\to 0}\dfrac{f(y)}{y}f'(x)$이고, 우함수 $f'(-x) = f'(x)$로부터 제시문 【다】의 이계도함수 정의를 적용하면 $$f''(0) = \lim_{h\to 0}\frac{f'(h) - f'(-h)}{2h} = \lim_{h\to 0}\frac{0}{2h} = \mathbf{0}$$

2단계 · 소문항 (2) 정적분 $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx$를 $a$로 표현 (10점) 주어진 식에 $y = 2$를 대입하면 $f(2) = a$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + 2) - f(x - 2) = 2a f'(x)$이다. 양변을 구간 $[0, 2]$에서 정적분하면 제시문 【나】에 의하여 $$\int_0^2 f(x + 2)\,dx - \int_0^2 f(x - 2)\,dx = 2a\int_0^2 f'(x)\,dx = 2a\Big[f(x)\Big]_0^2 = 2a\{f(2) - f(0)\} = 2a^2$$ 이다. 여기서 첫째 적분은 $u = x + 2$로 놓으면 $\displaystyle\int_2^4 f(u)\,du$이고, 둘째 적분은 $v = 2 - x$로 놓고 기함수 성질 $f(-v) = -f(v)$를 적용하면 $$-\int_0^2 f(x - 2)\,dx = -\int_0^2 f(-(2 - x))\,dx = \int_0^2 f(2 - x)\,dx = \int_0^2 f(v)\,dv$$ 이다. 따라서 제시문 【나】의 정적분의 구간 결합 성질에 의하여 다음을 얻는다. $$\int_0^4 f(x)\,dx = \int_0^2 f(x)\,dx + \int_2^4 f(x)\,dx = \mathbf{2a^2}$$

3단계 · 소문항 (3) $f(x) = \dfrac{4}{\pi}\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)$일 때 $a$와 정적분 검증 (10점) $f(x) = \dfrac{4}{\pi}\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)$에 $x = 2$를 대입하면 $a = f(2) = \dfrac{4}{\pi}\sin\dfrac{\pi}{2} = \mathbf{\frac{4}{\pi}}$이다.
• (2)의 공식 적용: $2a^2 = 2 \times \left(\dfrac{4}{\pi}\right)^2 = \mathbf{\frac{32}{\pi^2}}$
• 직접 정적분 계산: $\displaystyle\int_0^4 \frac{4}{\pi}\sin\!\left(\frac{\pi}{4}x\right)dx = \frac{4}{\pi}\left[-\frac{4}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi}{4}x\right)\right]_0^4 = \frac{16}{\pi^2}\{-\cos\pi - (-\cos 0)\} = \mathbf{\frac{32}{\pi^2}}$ (일치 확인).

2단계 · 소문항 (2) 음함수 미분법을 이용한 점 $\mathrm{Q}$의 속력 $v(a)$ 도출 (14점) 시각 $t$에서 점 $\mathrm{P}(\cos t, \sin t)$와 점 $\mathrm{Q}(\cos s, \sin s)$에 대하여, 제시문 【가】로부터 점 $\mathrm{Q}$의 속도벡터는 $\left(-\sin s\dfrac{ds}{dt}, \; \cos s\dfrac{ds}{dt}\right)$이고 속력은 $\sqrt{(-\sin s)^2 + (\cos s)^2}\left|\dfrac{ds}{dt}\right| = \left|\dfrac{ds}{dt}\right|$이다.
세 점 $\mathrm{A}(a, 0), \; \mathrm{P}(\cos t, \sin t), \; \mathrm{Q}(\cos s, \sin s)$가 한 직선 위에 있으므로 기울기가 같다는 조건(또는 삼각형 넓이 관계)으로부터 $$\frac{\sin t}{\cos t - a} = \frac{\sin s}{\cos s - a} \iff \sin t\cos s - \cos t\sin s = a(\sin t - \sin s) \iff \mathbf{\sin(s - t) = a(\sin s - \sin t)}$$ 가 성립한다. 제시문 【다】의 음함수의 미분법에 의하여 양변을 $t$에 대하여 미분하면 $$\cos(s - t)\left(\frac{ds}{dt} - 1\right) = a\left(\cos s\frac{ds}{dt} - \cos t\right) \implies \bigl\{a\cos s - \cos(s - t)\bigr\}\frac{ds}{dt} = a\cos t - \cos(s - t)$$ 이다. 시각 $t = t_0$일 때 점 $\mathrm{Q}$는 $(0, 1)$이므로 $s = \dfrac{\pi}{2}$, $\cos s = 0, \; \sin s = 1$이고, $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - t_0\right) = \sin t_0 = \dfrac{a^2 - 1}{a^2 + 1}$, $\cos t_0 = \dfrac{2a}{a^2 + 1}$이다. 이를 대입하면 $$-\sin t_0 \left.\frac{ds}{dt}\right|_{t=t_0} = a\cos t_0 - \sin t_0 \implies \left.\frac{ds}{dt}\right|_{t=t_0} = 1 - \frac{a\cos t_0}{\sin t_0} = 1 - \frac{2a^2}{a^2 - 1} = -\frac{a^2 + 1}{a^2 - 1}$$ 따라서 시각 $t = t_0$에서 점 $\mathrm{Q}$의 속력은 $\mathbf{v(a) = \left|\frac{ds}{dt}\right|_{t=t_0} = \frac{a^2 + 1}{a^2 - 1} = 1 + \frac{2}{a^2 - 1}}$이다.

3단계 · 소문항 (3) 구간 $[\sqrt{3}, 3]$에서 $v(a)$의 최댓값과 최솟값 (14점) 닫힌구간 $[\sqrt{3}, 3]$에서 $v(a) = 1 + \dfrac{2}{a^2 - 1}$을 미분하면 $v'(a) = -\dfrac{4a}{(a^2 - 1)^2} < 0$이므로 $v(a)$는 구간 $[\sqrt{3}, 3]$에서 순감소한다. 제시문 【나】에 의하여
• $\mathbf{a = \sqrt{3}}$일 때 최댓값: $v(\sqrt{3}) = 1 + \dfrac{2}{3 - 1} = \mathbf{2}$
• $\mathbf{a = 3}$일 때 최솟값: $v(3) = 1 + \dfrac{2}{9 - 1} = \mathbf{\frac{5}{4}}$